卷十三 志第三 律曆下

元嘉曆法

上元庚辰甲子紀首至太甲元年癸亥，三千五百二十三年，至元嘉二十年癸未，五千七百三年，算外。

元法，三千六百四十八。章歲，十九。紀法，六百八。章月，二百三十五。紀月，七千五百二十。章閏，七。紀日，二十二萬二千七十。度分，七十五。度法，三百四。氣法，二十四。餘數，一千五百九十五。歲中，十二。日法，七百五十二。沒餘，一百九十六。通數，二萬二千二百七。通法，四十七。沒法，三百一十九。月周，四千六十四。周天，十一萬一千三十五。通周，二萬七百二十一。周日日餘，四百一十七。周虛，三百三十五。會數，一百六十。交限數，八百五十九。會月，九百三十九。朔望合數，八十。甲子紀第一 甲戌紀第二 甲申紀第三 甲午紀第四 甲辰紀第五 甲寅紀第六

推入紀法：置上元庚辰盡所求年，以元法除之，不滿元法，以紀法除之，餘不滿紀法入紀年也。滿法去之，得後紀。

推積月術：置入紀年數算外，以章月乘之，如章歲為積月，不盡為閏餘。閏餘十二以上，其年閏。

推朔術：以通數乘積月，為朔積分，滿日法為積日，不盡為小餘。以六旬去積日，不盡為大餘，命以紀，算外，所求年正月朔日也。

求次月，加大餘二十九，小餘三百九十九，小餘滿日法從大餘，即次月朔也。小餘三百五十三以上，其月大也。

推弦望法：加朔大餘七，小餘二百八十七，小分三，小分滿四從小餘，小餘滿日法從大餘，命如前，上弦日也。又加之得望，又加之得下弦。

推二十四氣術：置入紀年算外，以餘數乘之，滿度法三百四為積沒，不盡為小餘。六旬去積沒，不盡為大餘，命以紀，算外，所求年雨水日也。求次氣，加大餘十五，小餘六十六，小分十一，小分滿氣法從小餘，小餘滿度法從大餘，次氣日也。

推閏月法：以閏餘減章歲，餘以歲中乘之，滿章閏得一，數從正月起，閏所在也。閏有進退，以無中氣御之。

推沒滅術：因雨水積，以沒餘乘之，滿沒法為大餘，不盡為小餘，如前，所求年為雨水前沒日也。求次沒，加大餘六十九，小餘一百九十六，滿沒法從大餘，命如前，雨水後沒日也。雨水小餘三十九以還，雨水六旬後乃有。

推土用事法：置立春大小餘小分之數，減大餘十八，小餘七十九，小分十八，命以紀，算外，立春前土用事日也。大餘不足加六十，小餘不足減，減大餘一，加度法而後減之。立夏、立冬求土用事皆如上法。

推日所在度法：以度法乘朔〔積日，周天去之，餘滿度法為〕積度，不盡為分。命度起室二，次宿除之，算外，正月朔夜半日在度及分也。求次日，日加一度，經室去度分。

推月所在度法：以月周乘朔積日，周天去之，餘滿度法為積度，不盡為分，命度如前，正月朔夜半月所在度及分。求次月，小月加度二十二，分一百三十三，大月加度三十五，分二百四十五，分滿度法成一度，命如前，次月朔月所在度及分也。曆先月法：以十六除月行分為大分，如所入遲疾加之，經室去度分。

推合朔月食術：置所求年積月，以會數乘之，以所入交會紀差加之，滿會月去之，餘則其年正月朔去交分也。求次月，以會數加之，滿會月去之。求望，加合數。朔望去交分如合數以下，交限數以上，朔則交會，望則月食。

推入遲疾曆法：置所求年朔積分，所入遲疾差加之，滿通周去之，餘滿日法得一日，不盡為日餘，命日算外，所求年正月朔入曆。求次月，加一日，日餘七百三十四。求望，加十四日，日餘五百七十五半。餘滿日法成一日，日滿二十七去之，除日餘如周日日餘，不足減，減一日，加周虛。

推合朔月食定大小餘法：以入曆日餘乘入曆下損益率，以損益盈縮積分，為定積分。以入曆日餘乘列差，滿日法盈減縮加差法，為定差法。以除定積分，所得減加本朔望小餘，為定小餘。加之滿日法，合朔月食進一日；減之不足減者，加日法而後減之，則退一日。值周日者，用周日定數。

推加時：以十二乘定小餘，滿日法得一辰，數從子起，算外，則朔望加時所在辰也。有餘者四之，滿日法得一為少，二為半，三為太。又有餘者三之，滿日法得一為強，半法以上排成一，不滿半法棄之。以強并少為少強，并半為半強，并太為太強。得二者為少弱，以并少為半弱，以并半為太弱，以并太為一辰弱。以所在辰名之。

推合朔月食加時滿刻法：各以百刻乘定小餘，如日法而一；不盡什之，求分。先除夜漏之半，即晝漏加時刻及分也。晝漏盡，又入夜漏。在中節前後四日以還者，視限數。在中節前後五日以上者，視間限數。月食加時定小餘不滿限數、間數者，皆以算上為日。

周日 十四度 損二十五 縮一萬五百二十八 二百六十

小分一百三

推合朔度：以章歲乘朔小餘，滿通法為大分，不盡為小分。以大分從朔夜半日日分，滿度命如前，正月朔日月合朔所在共合度也。

求次月，加度二十九，大分一百六十一，小分十四，小分滿通法從大分，大分滿度法從度。經室除度分。求望，加十四度，大分二百三十二，小分三十半。

推五星法：

木後元丙戌，晉咸和元年，至元嘉二十年癸未，百十八年算上。火後元乙亥，元嘉十二年，至元嘉二十年癸未，九年算上。土後元甲戌，元嘉十一年，至元嘉二十年癸未，十年算上。金後元甲申，晉太元九年，至元嘉二十年癸未，六十年算上。水後元乙丑，元嘉二年，至元嘉二十年癸未，十九年算上。

推五星法：各設其元至所求年算上，以合數乘之，滿合歲為積合，不盡曰合餘，多者以合數除之，得一，星合往年，得二，合前往年，不滿合數，其年。以合餘減合數為度分，以周天乘度分，滿日度法為積度，不盡曰度餘。命度以室二，算外，星合所在度也。以合數乘其年，內雨水小餘，并度餘為日餘，滿日度法從積度為日，命以雨水，算外，星合日也。求星見日法，以法伏日及餘加星合日及餘，滿日度法成一日，命如前，星見日也。求星見度法，以法伏度及餘加星合度及餘，滿日度法成一度，命如前，所見度也。以星行分母乘見度餘，滿日度法得一，分乃日加所行分。分滿其母成一度，逆順母不同，當各乘度餘，留者承前，逆則減之，伏不書度，經室去分，不足減者，破全度。

木：初與日合，伏，十六日，日餘四萬一千七百八十，行二度，餘七萬七千八百四十七半，晨見東方。順，日行二十三分之四，一百一十五日行二十度。留，不行，二十六日而逆。日行七分之一，八十四日退十二度。又留二十六日。順，一百一十五日行二十度，夕伏西方，日度餘如初，與日合。一終三百九十八日，日餘八萬三千五百六十，行星三十三度，餘五萬九千九百三十五。

火：初與日合，伏，七十一日，日餘二萬四千八百一十二半，行五十四度，度餘四萬九千四百三十，晨見東方。順，疾，日行七分之五，一百八日半行七十七度半。小遲，日行七分之四，一百二十六日行七十二度而大遲。日行七分之二，四十二日行十二度。留，不行，十二日而逆。日行十分之三，六十日退十八度。又留十二日。順，遲，四十二日行十二度。小疾，一百二十六日，行七十二度。一百八日半行七十七度半，夕伏西方，日度餘如初，與日合。一終七百七十九日，日餘四萬九千六百二十五，行星四百一十四，度餘三萬三千五百。除一周，行星定四十九度，度餘一萬七千三百七十五。

土：初與日合，伏，十八日，日餘四千四百八十二半，行二度，度餘四萬六千八百四十七半，晨見東方。順，日行十二分之一，八十四日，行七度。留，不行，三十六日而逆。日行十七分之一，一百二日退六度。又留三十六日。順，八十四日行七度，夕伏西方，日度餘如初，與日合。一終三百七十八日，日餘八千九百六十五，行星十二度，度餘九萬三千六百九十五。

金：初與日合，伏，四十一日，日餘四萬九千六百八十四半，行五十一度，度餘四萬九千六百八十四半，見西方。順，疾，日行一度十三分之三，九十一日行一百十二度而小遲。日行一度十三分之二，九十一日行一百五度。又大遲。日行十五分之十一，四十五日行三十三度。留，不行，八日而逆。日行三分之二，九日退六度，伏西方。伏六日，退四度而與日合。又六日退四度，晨見東方。逆，九日退六度。又留八日。順，四十五日行三十三度。小疾，九十一日行一百五度。大疾，九十一日行百一十二度，晨伏東方，日度餘如初，與日合。一終五百八十三日，日餘四萬八千六百一。除一周，行星定二百一十八度，度餘三萬六千七十六。一合二百九十一日，餘四萬九千六百八十四半，行星如之。

水：初與日合，伏，十七日，日餘七萬一千二百一十半，行三十四度，度餘七萬一千二百一十半，見西方。順，疾，日行一度三分之一，十八日行二十四度而遲。日行七分之五，七日行五度。留，不行，四日，夕伏西方。伏十一日，退六度，而與日合。又十一日退六度，而晨見東方。留四日。順，遲，七日行五度。疾，十八日行二十四度，晨伏東方，日度餘如初，與日合。一終一百一十五日，日餘六萬六千七百二十五，行星如之。一合五十七日，日餘七萬一千二百一十半，行星亦如之。盈加縮減，十六除月行分，日法除盈縮分，以減度分，盈加縮減。

推卦：因雨水大小餘，加大餘六，小餘三百一十九，小餘滿三千六百四十八成日。日滿二十七日餘不足加減不加周虛。

元嘉二十年，承天奏上尚書：「今既改用元嘉曆，漏刻與先不同，宜應改革。按景初曆春分日長，秋分日短，相承所用漏刻，冬至後晝漏率長於冬至前。且長短增減，進退無漸，非唯先法不精，亦各傳寫謬誤。今二至二分，各據其正。則至之前後，無復差異。更增損舊刻，參以晷影，刪定為經，改用二十五箭。請臺勒漏郎將考驗施用。」從之。

前世諸儒依圖緯云，月行有九道。故畫作九規，更相交錯，檢其行次，遲疾換易，不得順度。劉向論九道云：「青道二出黃道東，白道二出黃道西，黑道二出北，赤道二出南。」又云：「立春、春分，東從青道；立夏、夏至，南從赤道。秋白冬黑，各隨其方。」按日行黃道，陽路也，月者陰精，不由陽路，故或出其外，或入其內，出入去黃道不得過六度。入十三日有奇而出，出亦十三日有奇而入，凡二十七日而一入一出矣。交於黃道之上，與日相掩，則蝕焉。漢世劉洪推檢月行，作陰陽曆法。元嘉二十年，太祖使著作令史吳癸依洪法，制新術，令太史施用之。

元嘉曆月行陰陽法：

曆周，五萬五千五百一十七半。差率，一萬一百九十。微分法，一千八百七十八。

推入陰陽曆術曰：以會月去入紀積月，餘以會數乘之，以所入紀交會差加之，周天乘之，滿微分法為大分，不盡為微分。大分滿周天去之，餘不滿曆周者為入陽曆。餘，皆如月周得一日，算外，所求年正月合朔入曆也。不盡為日餘。

求次月，加二日，日餘一千三百三十一，微分一千五百九十八，如法成日，日滿十三去之，除日餘如分日。陰陽曆竟互入端，入曆在前限餘前，後限餘後者，月行中道。

求朔弦望定數：各置入遲疾曆盈縮定積分，以章歲乘之，差法除之，所得滿通法為大分。不盡，以微分法乘之，如法為微分。盈減縮加陰陽日餘，盈不足，以月周進退日而定，以定日餘乘損益兼數，為加時定數。

推夜半入曆：以差率乘朔小餘，如微分法得一，以減入曆餘，不足，加月周而減之，卻一日，卻得分日，加其分，半微分為小分，即朔日夜半入曆曆餘小分也。

求次日，加一日，日餘十六，小分三百二十，小分如會月從餘，餘滿月周去之，又加一日。曆竟，下日餘滿分日去之，互入曆初也。不滿分日者，值之，加餘一千三百九十四，小分七百八十九半，為入次曆。

求夜半定日：以朔小餘減入遲疾曆日餘，不足一日，卻得周日，加餘四百一十七，即月夜半入曆日及餘也。以日餘乘損益率，以損益盈縮積分，為定積分。滿通法為大分，不盡以會月乘之，如法為小分，以盈加縮減入陰陽日餘，盈不足進退日而定也。以定日餘乘損益率，如月周，以損益兼數，為夜半定數。

求昏明數：以損益率乘所近節氣夜漏，二百而一為明，以減損益率為昏，而以損益夜半數為昏明定數也。

求月去黃道度：置加時若昏明定數，以十二除之為度，其餘三而一為少，不盡為強，二少弱也。所得為月去黃道度。

大明六年，南徐州從事史祖沖之上表曰：

古曆疏舛，頗不精密，群氏糾紛，莫審其要。何承天所奏，意存改革，而置法簡略，今已乖遠。以臣校之，三睹厥謬：日月所在，差覺三度；二至晷影，幾失一日；五星見伏，至差四旬，留逆進退，或移兩宿。分至乖失，則節閏非正；宿度違天，則伺察無準。臣生屬聖辰，逮在昌運，敢率愚瞽，更創新曆。謹立改易之意有二，設法之情有三。

改易者，其一，以舊法一章十九歲有七閏，閏數為多，經二百年，輒差一日。節閏既移，則應改法，曆紀屢遷，實由此條。今改章法，三百九十一年有一百四十四閏。令卻合周、漢，則將來永用，無復差動。其二，以堯典云：「日短星昴，以正仲冬。」以此推之，唐代冬至，日在今宿之左五十許度。漢代之初，即用秦曆，冬至日在牽牛六度。漢武改立太初曆，冬至日在牛初。後漢四分法，冬至日在斗二十一。晉時姜岌以月蝕檢日，知冬至在斗十七。今參以中星，課以蝕望，冬至之日，在斗十一。通而計之，未盈百載，所差二度。舊法並令冬至日有定處，天數既差，則七曜宿度漸與曆舛。乖謬既著，輒應改制，僅合一時，莫能通遠，遷革不已，又由此條。今令冬至所在，歲歲微差，卻檢漢注，並皆審密，將來久用，無煩屢改。

又設法者，其一，以子為辰首，位在正北，爻應初九，斗氣之端，虛為北方，列宿之中，元氣肇初，宜在此次。前儒虞喜，備論其義。今曆上元日度，發自虛一。其二，以日辰之號，甲子為先，曆法設元，應在此歲。而黃帝以來，世代所用，凡十一曆，上元之歲，莫值此名。今曆上元，歲在甲子。其三，以上元之歲，曆中眾條，並應以此為始，而景初曆交會遲疾，〔元首有差。又承天法，日月五星，各自有元，交會遲疾，〕亦並置差，裁合朔氣而已。條序紛互，不及古意。今設法，日月五緯，交會遲疾，悉以上元歲首為始。則合璧之曜，信而有徵，連珠之暉，於是乎在，群流共源，實精古法。

若夫測以定形，據以實效，縣象著明，尺表之驗可推，動氣幽微，寸管之候不忒。今臣所立，易以取信。但深練始終，大存整密，革新變舊，有約有繁。用約之條，理不自懼，用繁之意，顧非謬然。何者？夫紀閏參差，數各有分，分之為體，非細不密。臣是用深惜毫釐，以全求妙之準，不辭積累，以成永定之制。非為思而莫悟，知而不改也。竊恐讚有然否，每崇遠而隨近，論有是非，或貴耳而遺目。所以竭其管穴，俯洗同異之嫌，披心日月，仰希葵藿之照。若臣所上，萬一可采，伏願頒宣群司，賜垂詳究，庶陳錙銖，少增盛典。

曆法 上元甲子至宋大明七年癸卯，五萬一千九百三十九年算外。元法，五十九萬二千三百六十五。紀法，三萬九千四百九十一。章歲，三百九十一。章月，四千八百三十六。章閏，一百四十四。閏法，十二。月法，十一萬六千三百二十一。日法，三千九百三十九。餘數，二十萬七千四十四。歲餘，九千五百八十九。沒分，三百六十萬五千九百五十一。沒法，五萬一千七百六十一。周天，一千四百四十二萬四千六百六十四。虛分，萬四百四十九。行分法，二十三。小分法，一千七百一十七。通周，七十二萬六千八百一十。會周，七十一萬七千七百七十七。通法，二萬六千三百七十七。差率，三十九。

推朔術：置入上元年數，算外，以章月乘之，滿章歲為積月，不盡為閏餘。閏餘二百四十七以上，其年有閏。以月法乘積月，滿日法為積日，不盡為小餘。六旬去積日，不盡為大餘。大餘命以甲子，算外，所求年天正十一月朔也。小餘千八百四十九以上，其月大。

求次月，加大餘二十九，小餘二千九十，小餘滿日法從大餘，大餘滿六旬去之，命如前，次月朔也。

求弦望：加朔大餘七，小餘千五百七，小分一，小分滿四從小餘，小餘滿日法從大餘，命如前，上弦日也。又加得望，又加得下弦，又加得後月朔也。

推閏術：以閏餘減章歲，餘滿閏法得一月，命以天正，算外，閏所在也。閏有進退，以無中氣為正。

推二十四氣術：置入上元年數，算外，以餘數乘之，滿紀法為積日，不盡為小餘。六旬去積日，不盡為大餘。大餘命以甲子，算外，天正十一月冬至日也。

求次氣，加大餘十五，小餘八千六百二十六，小分五，小分滿六從小餘，小餘滿紀法從大餘，命如前，次氣日也。

求土用事：加冬至大餘二十七，小餘萬五千五百二十八，季冬土用事日也。又加大餘九十一，小餘萬二千二百七十，次土用事日也。

推沒術：以九十乘冬至小餘，以減沒分，滿沒法為日，不盡為日餘，命日以冬至，算外，沒日也。

求次沒，加日六十九，日餘三萬四千四百四十二，餘滿沒法從日，次沒日也。日餘盡為滅。

推日所在度術：以紀法乘朔積日為度實，周天去之，餘滿紀法為積度，不盡為度餘，命以虛一，次宿除之，算外，天正十一月朔夜半日所在度也。

求次月，大月加度三十，小月加度二十九，入虛去度分。

求行分，以小分法除度餘，所得為行分，不盡為小分。小分滿法從行分，行分滿法從度。

求次日，加一度。入虛去行分六，小分百四十七。

推月所在度術：以朔小餘乘百二十四為度餘。又以朔小餘乘八百六十為微分。微分滿月法從度餘，度餘滿紀法為度，以減朔夜半日所在，則月所在度。

求次月，大月加度三十五，度餘三萬一千八百三十四，微分七萬七千九百六十七，小月加度二十二，度餘萬七千二百六十一，微分六萬三千七百三十六，入虛去度分也。

遲疾曆：

推入遲疾曆術：以通法乘朔積日為通實，通周去之，餘滿通法為日，不盡為日餘。命日算外，天正十一月朔夜半入曆日也。

求次月，大月加二日，小月加一日，日餘皆萬一千七百四十六。曆滿二十七日，日餘萬四千六百三十一，則去之。

求次日，加一日。

求日所在定度：以夜半入曆日餘乘損益率，以損益盈縮積分，如差率而一，所得滿紀法為度，不盡為度餘，以盈加縮減平行度及餘為定度。益之或滿法，損之或不足，以紀法進退。求度行分如上法。求次日，如所入遲疾加之，虛去分如上法。

推入陰陽曆術：置通實以會周去之，不滿交數三十五萬八千八百八十八半為朔入陽曆分，滿去之，為朔入陰曆分。各滿通法得一日，不盡為日餘，命日算外，天正十一月朔夜半入曆日也。

求次月，大月加二日，小月加一日，日餘皆二萬七百七十九。曆滿十三日，日餘萬五千九百八十七半則去之。陽竟入陰，陰竟入陽。

求次日，加一日。

求朔望差，以二千二十九乘朔小餘，滿三百三為日餘，不盡倍之為小分，則朔差數也。加一十四日，日餘二萬一百八十六，小分百二十五，小分滿六百六從日餘，日餘滿通法為日，即望差數也。又加之，後月朔也。

求合朔月食：置朔望夜半入陰陽曆日及餘，有半者去之，置小分三百三，以差數加之，小分滿六百六從日餘，日餘滿通法從日，日滿一曆去之。命日算外，則朔望加時入曆也。朔望加時入曆一日，日餘四千一百九十八，小分四百二十八以下，十二日，日餘萬一千七百八十八，小分四百八十一以上，朔則交會，望則月食。

求合朔月食定大小餘：令差數日餘加夜半入遲疾曆餘，日餘滿通法從日，則朔望加時入曆也。以入曆餘乘損益率，以損益盈縮積分，如差法而一，以盈減縮加本朔望小餘，為定小餘。益之或滿法，損之或不足，以日法進退日。

求合朔月食加時：以十二乘定小餘，滿日法得一辰，命以子，算外，加時所在辰也。有餘者四之，滿日法得一為少，二為半，三為太。又有餘者三之，滿日法得一為強，以強并少為少強，并半為半強，并太為太強。得二者為少弱，以并太為一辰弱，以前辰名之。

求月去日道度：置入陰陽曆餘乘損益率，如通法而一，以損益兼數為定，定數十二而一為度，不盡三而一，為少、半、太。又不盡者，一為強，二為少弱，則月去日道數也。陽曆在表，陰曆在裏。

求昏明中星：各以度數加夜半日所在，則中星度也。

推五星術

木率：千五百七十五萬三千八十二。火率：三千八十萬四千一百九十六。土率：千四百九十三萬三百五十四。金率：二千三百六萬一十四。水率：四百五十七萬六千二百四。

推五星術：置度實各以率去之，餘以減率，其餘如紀法而一，為入歲日，不盡為日餘。命以天正朔，算外，星合日。

求星合度：以入歲日及餘從天正朔日積度及餘，滿紀法從度，滿三百六十餘度分則去之，命以虛一，算外，星合所在度也。

求星見日術：以伏日及餘，加星合日及餘，餘滿紀法從日，命如前，見日也。

求星見度術：以伏度及餘，加星合度及餘，餘滿紀法從度，入虛去度分，命如前，星見度也。

行五星法：以小分法除度餘，所得為行分，不盡為小分，及日加所行分滿法從度，留者因前，逆則減之，伏不書度。從行入虛，去行分六，小分百四十七；逆行出虛，則加之。

木：初與日合，伏，十六日，餘萬七千八百三十二，行二度，度餘三萬七千五百四，晨見東方。從，日行四分，百一十二日，留二十八日。逆，日行三分，八十六日，又留二十八日。從，日行四分，百一十二日，夕伏西方。日度餘如初。一終，三百九十八日，日餘三萬五千六百六十四，行三十三度，度餘二萬五千二百一十五。

火：初與日合，伏，七十二日，日餘六百八，行五十五度，度餘二萬八千八百六十五，晨見東方。從，疾，日行十七分，九十二日，小遲，日行十四分，九十二日，大遲，日行九分，九十二日，留十日。逆，日行六分，六十四日，又留十日。從，遲，日行九分，九十二日。小疾，日行十四分，九十二日。大疾，日行十七分，九十二日，夕伏西方，日度餘如初。一終，七百八十日，日餘千二百一十六，行四百一十四度，度餘三萬二百五十八。除一周，定行四十九度，度餘萬九千八百九。

土：初與日合，伏，十七日，日餘千三百七十八，行一度，度餘萬九千三百三十三，晨見東方。行順，日行二分，八十四日，留三十三日。行逆，日行一分，百一十日，又留三十三日。從，日行二分，八十四日，夕伏西方，日度餘如初。一終，三百七十八日，日餘二千七百五十六，行十二度，度餘三萬一千七百九十八。

金：初與日合，伏，三十九日，餘三萬八千一百二十六，行四十九度，度餘三萬八千一百二十六，夕見西方。從，疾，日行一度五分，九十二日，小遲，日行一度四分，九十二日，大遲，日行十七分，四十五日，留九日。遲，日行十六分，夕伏西方。伏五日，退五度，而與日合。又五日退五度，而晨見東方。逆，日行十六分，九日。留九日。從，遲，日行十七分，四十五日。小疾，日行一度四分，九十二日。大疾，日行一度五分，九十二日，晨伏東方，日度餘如初。一終，五百八十三日，日餘三萬六千七百六十一，行星如之。除一周，定行二百十八度，度餘二萬六千三百一十二。一合，二百九十一日，日餘三萬八千一百二十六，行星亦如之。

水：初與日合，伏，十四日，日餘三萬七千一百十五，行三十度，度餘三萬七千一百一十五，夕見西方。從，疾，日行一度六分，二十三日，遲，日行二十分，八日，留二日。逆，日行十一分，二日，夕伏西方。伏八日，退八度，而與日合。又八日，退八度，晨見東方。逆，日行十一分，二日。留二日。從，遲，日行二十分，八日。疾，日行一度六分，二十三日，晨伏東方，日度餘如初。一終，百一十五日，日餘三萬四千七百三十九，行星如之。一合，五十七日，日餘三萬七千一百一十五，行星亦如之。

上元之歲，歲在甲子，天正甲子朔夜半冬至，日月五星，聚于虛度之初，陰陽遲疾，並自此始。

世袓下之有司，使內外博議，時人少解曆數，竟無異同之辯。唯太子旅賁中郎將戴法興議，以為：

三精數微，五緯會始，自非深推測，窮識晷變，豈能刊古革今，轉正圭宿。案沖之所議，每有違舛，竊以愚見，隨事辨問。

案沖之新推曆術，「今冬至所在，歲歲微差」。臣法興議：夫二至發斂，南北之極，日有恒度，而宿無改位。古曆冬至，皆在建星。戰國橫騖，史官喪紀，爰及漢初，格候莫審，後雜覘知在南斗二十一度，元和所用，即與古曆相符也。逮至景初，而終無毫忒。書云：「日短星昴，以正仲冬。」直以月維四仲，則中宿常在衛陽，羲、和所以正時，取其萬世不易也。沖之以為唐代冬至日在今宿之左五十許度，遂虛加度分，空撤天路。其置法所在，近違半次，則四十五年九月，率移一度。在詩「七月流火」，此夏正建申之時也。「定之方中」，又小雪之節也。若冬至審差，則豳公火流，晷長一尺五寸，楚宮之作，晝漏五十三刻，此詭之甚也。仲尼曰：「丘聞之，火伏而後蟄者畢。今火猶西流，司曆過也。」就如沖之所誤，則星無定次，卦有差方。名號之正，古今必殊，典誥之音，代不通軌，堯之開、閉，今成建、除，今之壽星，乃周之鶉尾，即時東壁，已非玄武，軫星頓屬蒼龍，誣天背經，乃至於此。

沖之又改章法三百九十一年有一百四十四閏。臣法興議：夫日有緩急，故斗有闊狹，古人制章，立為中格，年積十九，常有七閏，晷或虛盈，此不可革。沖之削閏壞章，倍減餘數，則一百三十九年二月，於四分之科，頓少一日；七千四百二十九年，輒失一閏。夫日少則先時，閏失則事悖。竊聞時以作事，事以厚生，以此乃生人之大本，曆數之所先，愚恐非沖之淺慮妄可穿鑿。

沖之又命上元日度發自虛一，云虛為北方列宿之中。臣法興議：沖之既云冬至歲差，又謂虛為北中，舍形責影，未足為迷。何者？凡在天非日不明，居地以斗而辨。借令冬至在虛，則黃道彌遠，東北當為黃鍾之宮，室壁應屬玄枵之位，虛宿豈得復為北中乎？曲使分至屢遷，而星次不改，招搖易繩，而律呂仍往，則七政不以璣衡致齊，建時亦非攝提所紀，不知五行何居，六屬安託。

沖之又令上元年在甲子。臣法興議：夫置元設紀，各有所尚，或據文於圖讖，或取效於當時。沖之云，「群氏糾紛，莫審其會」。昔黃帝辛卯，日月不過，顓頊乙卯，四時不忒，景初壬辰，晦無差光，元嘉庚辰，朔無錯景，豈非承天者乎。沖之苟存甲子，可謂為合以求天也。

沖之又令日月五緯，交會遲疾，悉以上元為始。臣法興議：夫交會之元，則食既可求，遲疾之際，非凡夫所測。昔賈逵略見其差，劉洪觕著其術。至於疏密之數，莫究其極。且五緯所居，有時盈縮，即如歲星在軫，見超七辰，術家既追算以會今，則往之與來，斷可知矣。景初所以紀首置差，元嘉兼又各設後元者，其並省功於實用，不虛推以為煩也。沖之既違天於改易，又設法以遂情，愚謂此治曆之大過也。

臣法興議：日有八行，各成一道，月有一道，離為九行，左交右疾，倍半相違，其一終之理，日數宜同。沖之通周與會周相覺九千四十，其陰陽七十九周有奇，遲疾不及一匝。此則當縮反盈，應損更益。

沖之隨法興所難辯折之曰：

臣少銳愚尚，專功數術，搜練古今，博采沈奧，唐篇夏典，莫不揆量，周正漢朔，咸加該驗。罄策籌之思，究疏密之辨。至若立圓舊誤，張衡述而弗改，漢時斛銘，劉歆詭謬其數，此則算氏之劇疵也。乾象之弦望定數，景初之交度周日，匪謂測候不精，遂乃乘除翻謬，斯又曆家之甚失也。及鄭玄、闞澤、王蕃、劉徽，並綜數藝，而每多疏舛。臣昔以暇日，撰正眾謬，理據炳然，易可詳密，此臣以俯信偏識，不虛推古人者也。按何承天曆，二至先天，閏移一月，五星見伏，或違四旬，列差妄設，當益反損，皆前術之乖遠，臣曆所改定也。既沿波以討其源，刪滯以暢其要，能使躔次上通，晷管下合，反以譏詆，不其惜乎。尋法興所議六條，並不造理難之關楗。謹陳其目。

其一，日度歲差，前法所略，臣據經史辨正此數，而法興設難，徵引詩書，三事皆謬。其二，臣校晷景，改舊章法，法興立難，不能有詰，直云「恐非淺慮，所可穿鑿」。其三，次改方移，臣無此法，求術意誤，橫生嫌貶。其四，曆上元年甲子，術體明整，則苟合可疑。其五，臣其曆七曜，咸始上元，無隙可乘，復云「非凡夫所測」。其六，遲疾陰陽，法興所未解，誤謂兩率日數宜同。凡此眾條，或援謬目譏，或空加抑絕，未聞折正之談，厭心之論也。謹隨詰洗釋，依源徵對。仰照天暉，敢罄管穴。

法興議曰：「夫二至發斂，南北之極，日有恒度，而宿無改位。故古曆冬至，皆在建星。」沖之曰：周漢之際，疇人喪業，曲技競設，圖緯實繁，或借號帝王以崇其大，或假名聖賢以神其說。是以讖記多虛，桓譚知其矯妄；古曆舛雜，杜預疑其非直。按五紀論黃帝曆有四法，顓頊、夏、周並有二術，詭異紛然，則孰識其正，此古曆可疑之據一也。夏曆七曜西行，特違眾法，劉向以為後人所造，此可疑之據二也。殷曆日法九百四十，而乾鑿度云殷曆以八十一為日法。若易緯非差，殷曆必妄，此可疑之據三也。顓頊曆元，歲在乙卯，而命曆序云：「此術設元，歲在甲寅。」此可疑之據四也。春秋書食有日朔者凡二十六，其所據曆，非周則魯。以周曆考之，檢其朔日，失二十五，魯曆校之，又失十三。二曆並乖，則必有一偽，此可疑之據五也。古之六術，並同四分，四分之法，久則後天。以食檢之，經三百年，輒差一日。古曆課今，其甚疏者，朔後天過二日有餘。以此推之，古術之作，皆在漢初周末，理不得遠。且卻校春秋，朔並先天，此則非三代以前之明徵矣，此可疑之據六也。尋律曆志，前漢冬至日在斗牛之際，度在建星，其勢相鄰，自非帝者有造，則儀漏或闕，豈能窮密盡微，纖毫不失。建星之說，未足證矣。

法興議曰：「戰國橫騖，史官喪紀，爰及漢初，格候莫審，後雜覘知在南斗二十一度，元和所用，即與古曆相符也。逮至景初，終無毫忒。」沖之曰：古術訛雜，其詳闕聞，乙卯之曆，秦代所用，必有效於當時，故其言可徵也。漢武改創，檢課詳備，正儀審漏，事在前史，測星辨度，理無乖遠。今議者所是不實見，所非徒為虛妄，辨彼駭此，既非通談，運今背古，所誣誠多，偏據一說，未若兼今之為長也。景初之法，實錯五緯，今則在衝口，至曩已移日。蓋略治朔望，無事檢候，是以晷漏昏明，並即元和，二分異景，尚不知革，日度微差，宜其謬矣。

法興議曰：「書云『日短星昴，以正仲冬』。直以月推四仲，則中宿常在衛陽，羲、和所以正時，取其萬代不易也。沖之以為唐代冬至，日在今宿之左五十許度，遂虛加度分，空撤天路。」沖之曰：書以四星昏中審分至者，據人君南面而言也。且南北之正，其詳易准，流見之勢，中天為極。先儒注述，其義僉同，而法興以為書說四星，皆在衛陽之位，自在巳地，進失向方，退非始見，迂迴經文，以就所執，違訓詭情，此則甚矣。捨午稱巳，午上非無星也。必據中宿，餘宿豈復不足以正時。若謂舉中語兼七列者，觜參尚隱，則不得言，昴星雖見，當云伏矣。奎婁已見，復不得言伏見□□不得以為辭，則名將何附。若中宿之通非允，當實謹檢經旨，直云星昴，不自衛陽，衛陽無自顯之義，此談何因而立。苟理無所依，則可愚辭成說，曾泉、桑野，皆為明證，分至之辨，竟在何日，循復再三，竊深歎息。

法興議曰：「其置法所在，近違半次，則四十五年九月率移一度。」沖之曰：元和日度，法興所是，唯徵古曆在建星，以今考之，臣法冬至亦在此宿，斗二十一了無顯證，而虛貶臣曆乖差半次，此愚情之所駭也。又年數之餘有十一月，而議云九月，涉數每乖，皆此類也。月盈則食，必在日衝，以檢日則宿度可辨，請據效以課疏密。按太史註記，元嘉十三年十二月十六日甲夜月蝕盡，在鬼四度，以衝計之，日當在牛六。依法興議曰「在女七」。又十四年五月十五日丁夜月蝕盡，在斗二十六度，以衝計之，日當在井三十。依法興議曰：「日在柳二。」又二十八年八月十五日丁夜月蝕，在奎十一度，以衝計之，日當在角二。依法興議曰：「日在角十二。」又大明三年九月十五日乙夜月蝕盡，在胃宿之末，以衝計之，日當在氐十二。依法興議曰：「日在心二。」凡此四蝕，皆與臣法符同，纖豪不爽，而法興所據，頓差十度，違衝移宿，顯然易睹。故知天數漸差，則當式遵以為典，事驗昭晳，豈得信古而疑今。

法興議曰：「在詩『七月流火』，此夏正建申之時也。『定之方中』，又小雪之節也。若冬至審差，則豳公火流，晷長一尺五寸，楚宮之作，晝漏五十三刻，此詭之甚也。」沖之曰：臣按此議三條皆謬。詩稱流火，蓋略舉西移之中，以為驚寒之候。流之為言，非始動之辭也。就如始說，冬至日度在斗二十一，則火星之中，當在大暑之前，豈鄰建申之限。此專自攻糾，非謂矯失。夏小正：「五月昏，大火中。」此復在衛陽之地乎。又謂臣所立法，楚宮之作，在九月初。按詩傳箋皆謂定之方中者，室辟昏中，形四方也。然則中天之正，當在室之八度。臣曆推之，元年立冬後四日，此度昏中，乃自十月之初，又非寒露之日也。議者之意，蓋誤以周世為堯時，度差五十，故致此謬。小雪之節，自信之談，非有明文可據也。

法興議曰：「仲尼曰：『丘聞之，火伏而後蟄者畢。今火猶西流，司曆過也。』就如沖之所誤，則星無定次，卦有差方，名號之正，古今必殊，典誥之音，時不通軌。堯之開、閉，今成建、除，今之壽星，乃周之鶉尾也。即時東壁，已非玄武，軫星頓屬蒼龍，誣天背經，乃至於此。」沖之曰：臣以為辰極居中，而列曜貞觀，群像殊體，而陰陽區別，故羽介咸陳，則水火有位，蒼素齊設，則東西可準，非以日之所在，定其名號也。何以明之？夫陽爻初九，氣始正北，玄武七列，虛當子位。若圓儀辨方，以日為主，冬至所舍，當在玄枵；而今之南極，乃處東維，違體失中，其義何附。若南北以冬夏稟稱，則卯酉以生殺定號，豈得春躔義方，秋麗仁域，名舛理乖，若此之反哉！因茲以言，固知天以列宿分方，而不在於四時，景緯環序，日不獨守故轍矣。至於中星見伏，記籍每以審時者，蓋以曆數難詳，而天驗易顯，各據一代所合，以為簡易之政也。亦猶夏禮未通商典，濩容豈襲韶節，誠天人之道同差，則蓺之興，因代而推移矣。月位稱建，諒以氣之所本，名隨實著，非謂斗杓所指，近校漢時，已差半次，審斗節時，其效安在。或義非經訓，依以成說，將緯候多詭，偽辭間設乎？次隨方名，義合宿體，分至雖遷，而厥位不改，豈謂龍火貿處，金水亂列，名號乖殊之譏，抑未詳究。至如壁非玄武，軫屬蒼龍，瞻度察晷，實效咸然。元嘉曆法，壽星之初，亦在翼限，參校晉注，顯驗甚眾。天數差移，百有餘載，議者誠能馳辭騁辯，令南極非冬至，望不在衝，則此談乃可守耳。若使日遷次留，則無事屢嫌，乃臣曆之良證，非難者所宜列也。尋臣所執，必據經史，遠考唐典，近徵漢籍，讖記碎言，不敢依述，竊謂循經之論也。月蝕檢日度，事驗昭著，史注詳論，文存禁閣，斯又稽天之說也。堯典四星，並在衛陽，今之日度，遠準元和，誣背之誚，實此之謂。

法興議曰：「夫日有緩急，故斗有闊狹，古人制章，立為中格，年積十九，常有七閏，晷或盈虛，此不可革。沖之削閏壞章，倍減餘數，則一百三十九年二月，於四分之科，頓少一日；七千四百二十九年，輒失一閏。夫日少則先時，閏失則事悖。竊聞時以作事，事以厚生，此乃生民之所本，曆數之所先。愚恐非沖之淺慮，妄可穿鑿。」沖之曰：按後漢書及乾象說，四分曆法，雖分章設篰創自元和，而晷儀眾數定於熹平三年。四分志，立冬中影長一丈，立春中影九尺六寸。尋冬至南極，日晷最長，二氣去至，日數既同，則中影應等，而前長後短，頓差四寸，此曆景冬至後天之驗也。二氣中影，日差九分半弱，進退均調，略無盈縮，以率計之，二氣各退二日十二刻，則晷影之數，立冬更短，立春更長，並差二寸，二氣中影俱長九尺八寸矣。即立冬、立春之正日也。以此推之，曆置冬至，後天亦二日十二刻也。熹平三年，時曆丁丑冬至，加時正在日中。以二日十二刻減之，天定以乙亥冬至，加時在夜半後三十八刻。又臣測景歷紀，躬辨分寸，銅表堅剛，暴潤不動，光晷明潔，纖毫𢣺然。據大明五年十月十日，影一丈七寸七分半，十一月二十五日，一丈八寸一分太，二十六日，一丈七寸五分強，折取其中，則中天冬至，應在十一月三日。求其蚤晚，令後二日影相減，則一日差率也。倍之為法，前二日減，以百刻乘之為實，以法除實，得冬至加時在夜半後三十一刻，在元嘉曆後一日，天數之正也。量檢竟年，則數減均同，異歲相課，則遠近應率。臣因此驗，考正章法。今以臣曆推之，刻如前，竊謂至密，永為定式。尋古曆法並同四分，四分之數久則後天，經三百年，朔差一日。是以漢載四百，食率在晦。魏代已來，遂革斯法，世莫之非者，誠有效於天也。章歲十九，其疏尤甚，同出前術，非見經典。而議云此法自古，數不可移。若古法雖疏，永當循用，謬論誠立，則法興復欲施四分於當今矣，理容然乎？臣所未譬也。若謂今所革創，違舛失衷者，未聞顯據有以矯奪臣法也。元嘉曆術，減閏餘二，直以襲舊分粗，故進退未合。至於棄盈求正，非為乖理。就如議意，率不可易，則分無增損，承天置法，復為違謬。節氣蚤晚，當循景初，二至差三日，曾不覺其非，橫謂臣曆為失，知日少之先時，未悟增月之甚惑也。誠未睹天驗，豈測曆數之要，生民之本，諒非率意所斷矣。又法興始云窮識晷變，可以刊舊革今，復謂晷數盈虛，不可為准，互自違伐，罔識所依。若推步不得准，天功絕於心目，未詳歷紀何因而立。案春秋以來千有餘載，以食檢朔，曾無差失，此則日行有恒之明徵也。且臣考影彌年，窮察毫微，課驗以前，合若符契，孟子以為千歲之日至，可坐而知，斯言實矣。日有緩急，未見其證，浮辭虛貶，竊非所懼。

法興議曰：「沖之既云冬至歲差，又謂虛為北中，捨形責影，未足為迷。何者？凡在天非日不明，居地以斗而辨。借令冬至在虛，則黃道彌遠，東北當為黃鍾之宮，室壁應屬玄枵之位，虛宿豈得復為北中乎？曲使分至屢遷，而星次不改，招搖易繩，而律呂仍往，則七政不以璣衡致齊，建時亦非攝提所紀，不知五行何居，六屬安託。」沖之曰：此條所嫌，前牒已詳。次改方移，虛非中位，繁辭廣證，自搆紛惑，皆議者所謬誤，非臣法之違設也。七政致齊，實謂天儀，鄭、王唱述，厥訓明允，雖有異說，蓋非實義。

法興議曰：「夫置元設紀，各有所尚，或據文於圖讖，或取效於當時。沖之云『群氏糾紛，莫審其會』。昔黃帝辛卯，日月不過，顓頊乙卯，四時不忒，景初壬辰，晦無差光，元嘉庚辰，朔無錯景，豈非承天者乎。沖之苟存甲子，可謂為合以求天也。」沖之曰：夫曆存效密，不容殊尚，合讖乖說，訓義非所取，雖驗當時，不能通遠，又臣所未安也。元值始名，體明理正。未詳辛卯之說何依，古術詭謬，事在前牒，溺名喪實，殆非索隱之謂也。若以曆合一時，理無久用，元在所會，非有定歲者，今以效明之。夏、殷以前，載籍淪逸，春秋漢史，咸書日蝕，正朔詳審，顯然可徵。以臣歷檢之，數皆協同，誠無虛設，循密而至，千載無殊，則雖遠可知矣。備閱曩法，疏越實多，或朔差三日，氣移七晨，未聞可以下通於今者也。元在乙丑，前說以為非正，今值甲子，議者復疑其苟合，無名之歲，自昔無之，則推先者，將何從乎？歷紀之作，幾於息矣。夫為合必有不合，願聞顯據，以覈理實。

法興曰：「夫交會之元，則蝕既可求，遲疾之際，非凡夫所測。昔賈逵略見其差，劉洪粗著其術，至於疏密之數，莫究其極。且五緯所居，有時盈縮，即如歲星在軫，見超七辰，術家既追算以會今，則往之與來，斷可知矣。景初所以紀首置差，元嘉兼又各設後元者，其並省功於實用，不虛推以為煩也。沖之既違天於改易，又設法以遂情，愚謂此治曆之大過也。」沖之曰：遲疾之率，非出神怪，有形可檢，有數可推，劉、賈能述，則可累功以求密矣。議又云「五緯所居，有時盈縮」。「歲星在軫，見超七辰」。謂應年移一辰也。案歲星之運，年恒過次，行天七匝，輒超一位。代以求之，曆凡十法，並合一時，此數咸同，史注所記，天驗又符。此則盈次之行，自其定准，非為衍度濫徙，頓過其衝也。若審由盈縮，豈得常疾無遲。夫甄耀測象者，必料分析度，考往驗來，准以實見，據以經史。曲辯碎說，類多浮詭，甘、石之書，互為矛楯。今以一句之經，誣一字之謬，堅執偏論，以罔正理，此愚情之所未厭也。算自近始，眾法可同，但景初之二差，承天之後元，實以奇偶不協，故數無盡同，為遺前設後，以從省易。夫建言倡論，豈尚矯異，蓋令實以文顯，言勢可極也。稽元曩歲，群數咸始，斯誠術體，理不可容譏；而譏者以為過，謬之大者。然則元嘉置元，雖七率舛陳，而猶紀協甲子，氣朔俱終，此又過謬之小者也。必當虛立上元，假稱曆始，歲違名初，日避辰首，閏餘朔分，月緯七率，並不得有盡，乃為允衷之製乎？設法情實，謂意之所安；改易違天，未睹理之譏者也。

法興曰：「日有八行，合成一道，月有一道，離為九行，左交右疾，倍半相違，其一終之理，日數宜同。沖之通周與會周相覺九千四十，其陰陽七十九周有奇，遲疾不及一匝，此則當縮反盈，應損更益。」沖之曰：此議雖游漫無據，然言跡可檢。按以日八行譬月九道，此為月行之軌，當循一轍，環匝於天，理無差動也。然則交會之際，當有定所，豈容或斗或牛，同麗一度。去極應等，安得南北無常。若日月非例，則八行之說是衍文邪？左交右疾，語甚未分，為交與疾對？為舍交即疾？若舍交即疾，即交在平率入曆七日及二十一日是也。值交蝕既當在盈縮之極，豈得損益，或多或少。若交與疾對，則在交之衝，當為遲疾之始，豈得入曆或深或淺，倍半相違，新故所同，復摽此句，欲以何明。臣覽曆書，古今略備，至如此說，所未前聞，遠乖舊準，近背天數，求之愚情，竊所深惑。尋遲疾陰陽不相生，故交會加時，進退無常，昔術著之久矣，前儒言之詳矣。而法興云日數同。竊謂議者未曉此意，乖謬自著，無假驟辯。既云盈縮失衷，復不備記其數，或自嫌所執，故汎略其說乎？又以全為率，當互因其分，法興所列二數皆誤，或以八十為七十九，當縮反盈，應損更益，此條之謂矣。總檢其議，豈但臣曆不密，又謂何承天法乖謬彌甚。若臣曆宜棄，則承天術益不可用。法興所見既審，則應革創。至非景極，望非日衝，凡諸新說，必有妙辯乎？

時法興為世祖所寵，天下畏其權，既立異議，論者皆附之。唯中書舍人巢尚之是沖之之術，執據宜用。上愛奇慕古，欲用沖之新法，時大明八年也。故須明年改元，因此改曆。未及施用，而宮車晏駕也。