卷六十八 志第二十一 律曆一

應天 乾元 儀天曆

古者，帝王之治天下，以律曆為先；儒者之通天人，至律曆而止。曆以數始，數自律生，故律曆既正，寒暑以節，歲功以成，民事以序，庶績以凝，萬事根本由茲立焉。古人自入小學，知樂知數，已曉其原。後世老師宿儒猶或弗習律曆，而律曆之家未必知道，各師其師，岐而二之。雖有巧思，豈能究造化之統會，以識天人之蘊奧哉！是以審律造曆，更易不常，卒無一定之說。治效之不古若，亦此之由，而世豈察及是乎！

宋初，承五代之季王朴制律曆、作律準，以宣其聲，太祖以雅樂聲高，詔有司考正。和峴等以影表銅臬暨羊頭秬黍累尺制律，而度量權衡因以取正。然累代尺度與望臬殊，黍有巨細，縱橫容積，諸儒異議，卒無成說。至崇寧中，徽宗任蔡京，信方士「聲為律、身為度」之說，始大盭乎古矣。

顯德欽天曆亦朴所制也，宋初用之。建隆二年，以推驗稍疏，詔王處訥等別造新曆。四年，曆成，賜名應天，未幾，氣候漸差。太平興國四年，行乾元曆，未幾，氣候又差。繼作者曰儀天，曰崇天，曰明天，曰奉元，曰觀天，曰紀元，迨靖康丙午，百六十餘年，而八改曆。南渡之後，曰統元，曰乾道，曰淳熙，曰會元，曰統天，曰開禧，曰會天，曰成天，至德祐丙子，又百五十年，復八改曆。使其初而立法脗合天道，則千歲日至可坐而致，奚必數數更法，以求幸合玄象哉！蓋必有任其責者矣。

雖然，天步惟艱，古今通患，天運日行，左右既分，不能無忒。謂七十九年差一度，雖視古差密，亦僅得其槩耳。又况黃、赤道度有斜正闊狹之殊，日月運行有盈縮、朏朒、表裏之異。測北極者，率以千里差三度有奇，晷景稱是。古今測驗，止於岳臺，而岳臺豈必天地之中？餘杭則東南，相距二千餘里，華夏幅員東西萬里，發斂晷刻豈能盡諧？又造曆者追求曆元，踰越曠古，抑不知二帝授時齊政之法，畢殫於是否乎？是亦儒者所當討論之大者，諉曰星翁曆生之責可哉？至於儀象推測之具，雖亦數改，若熙寧沈括之議、宣和璣衡之制，其詳密精緻有出於淳風、令瓚之表者，蓋亦未始乏人也。今其遺法具在方冊，惟奉元、會天二法不存。舊史以乾元、儀天附應天，今亦以乾道、淳熙、會元附統元，開禧、成天附統天。大抵數異術同，因仍增損，以追合乾象，俱無以大相過，備載其法，俾來者有考焉。

昔黃帝作律呂，以調陰陽之聲，以候天地之氣。堯則欽若曆象，以授人時，以成歲功，用能綜三才之道，極萬物之情，以成其政化者也。至司馬遷、班固敘其指要，著之簡策。自漢至隋，歷代祖述，益加詳悉。暨唐貞觀迄周顯德，五代隆替，踰三百年，博達之士頗亦詳緝廢墜，而律志皆闕。宋初混一宇內，能士畢舉，國經王制，悉復古道。漢志有備數、和聲、審度、嘉量、權衡之目，後代因之，今亦用次序以志于篇：

曰備數。周禮，保氏教國子以六藝，其六曰九數，謂方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、方程、贏朒、旁要，是為九章。其後又有海島、孫子、五曹、張丘建、夏侯陽、周髀、綴術、緝古等法相因而起，歷代傳習，謂之小學。唐試右千牛衞冑曹參軍陳從運著得一算經，其術以因折而成，取損益之道，且變而通之，皆合於數。復有徐仁美者，作增成玄一法，設九十三問，以立新術，大則測於天地，細則極於微妙，雖粗述其事，亦適用於時。古者命官屬於太史，漢、魏之世，皆在史官。隋氏始置算學博士於國庠，唐增其員，宋因而不改。

曰和聲。周禮，典同掌六律六同之和，凡為樂器，以十有二律為之數度。古之聖人推律以制器，因器以宣聲，和聲以成音，比音而為樂。然則律呂之用，其樂之本歟！以其相生損益，數極精微，非聰明博達，則罕能詳究。故歷代而下，其法或存或闕，前史言之備矣。周顯德中，王朴始依周法，以秬黍校正尺度，長九寸，虛徑三分，為黃鐘之管，作律準，以宣其聲。宋乾德中，太祖以雅樂聲高，詔有司重加考正。時判太常寺和峴上言曰：「古聖設法，先立尺寸，作為律呂，三分損益，上下相生，取合真音，謂之形器。但以尺寸長短非書可傳，故累秬黍求為準的，後代試之，或不符會。西京銅望臬可校古法，即今司天臺影表銅臬下石尺是也。及以朴所定尺比校，短於石尺四分，則聲樂之高，蓋由於此。况影表測於天地，則管律可以準繩。」上乃令依古法，以造新尺并黃鐘九寸之管，命工人校其聲，果下於朴所定管一律。又內出上黨羊頭山秬黍，累尺校律，亦相符合。遂下尚書省集官詳定，衆議僉同。由是重造十二律管，自此雅音和暢。

曰審度者，本起於黃鐘之律，以秬黍中者度之，九十黍為黃鐘之長，而分、寸、尺、丈、引之制生焉。宋既平定四方，凡新邦悉頒度量於其境，其偽俗尺度踰於法制者去之。乾德中，又禁民間造者。由是尺度之制盡復古焉。

曰嘉量。周禮，𭫪氏為量。漢志云，物有多少受以量，本起於黃鐘之管容秬黍千二百，而龠、合、升、斗、斛五量之法備矣。太祖受禪，詔有司精考古式，作為嘉量，以頒天下。其後定西蜀，平嶺南，復江表，泉、浙納土，并、汾歸命，凡四方斗、斛不中式者皆去之。嘉量之器，悉復升平之制焉。

曰權衡之用，所以平物一民、知輕重也。權有五，曰銖、兩、斤、鈞、石，前史言之詳矣。建隆元年八月，詔有司按前代舊式作新權衡，以頒天下，禁私造者。及平荊湖，即頒量、衡於其境。淳化三年三月三日，詔曰：「書云：『協時、月，正日，同律、度、量、衡。』所以建國經而立民極也。國家萬邦咸乂，九賦是均，顧出納於有司，繫權衡之定式。如聞秬黍之制，或差毫釐，錘鈎為姦，害及黎庶。宜令詳定稱法，著為通規。」事下有司，監內藏庫、崇儀使劉承珪言：「太府寺舊銅式自一錢至十斤，凡五十一，輕重無準。外府歲受黃金，必自毫釐計之，式自錢始，則傷於重。」遂尋究本末，別制法物。至景德中，承珪重加參定，而權衡之制益為精備。其法蓋取漢志子穀秬黍為則，廣十黍以為寸，從其大樂之尺，就成二術，因度尺而求氂，自積黍而取絫。以氂、絫造一錢半及一兩等二稱，各懸三毫，以星準之。等一錢半者，以取一稱之法。其衡合樂尺一尺二寸，重一錢，錘重六分，盤重五分。初毫星準半錢，至稍總一錢半，析成十五分，分列十氂；中毫至稍一錢，析成十分，分列十氂；末毫至稍半錢，析成五分，分列十氂。等一兩者，亦為一稱之則。其衡合樂分尺一尺四寸，重一錢半，錘重六錢，盤重四錢。初毫至稍，布二十四銖，下別出一星，等五絫；中毫至稍五錢，布十二銖，列五星，星等二絫；末毫至稍六銖，銖列十星，星等絫。以御書真、草、行三體淳化錢，較定實重二銖四絫為一錢者，以二千四百得十有五斤為一稱之則。其法，初以積黍為準，然後以分而推忽，為定數之端。故自忽、絲、毫、氂、黍、絫、銖各定一錢之則。忽萬為分，絲則千，毫則百，氂則十，轉以十倍倍之，則為一錢。黍以二千四百枚為一兩，絫以二百四十，銖以二十四，遂成其稱。稱合黍數，則一錢半者，計三百六十黍之重。列為五分，則每分計二十四黍。又每分析為一十氂，則每氂計二黍十分黍之四。每四毫一絲六忽有差為一黍，則氂、絫之數極矣。一兩者，合二十四銖為二千四百黍之重。每百黍為銖，二百四十黍為絫，二銖四絫為錢，二絫四黍為分。一絫二黍重五釐，六黍重二釐五毫，三黍重一氂二毫五絲，則黍、絫之數成矣。其則，用銅而鏤文，以識其輕重。新法既成，詔以新式留禁中，取太府舊稱四十、舊式六十，以新式校之，乃見舊式所謂一斤而輕者有十，謂五斤而重者有一。式既若是，權衡可知矣。又比用大稱如百斤者，皆懸鈞於架，植鐶於衡，鐶或偃，手或抑按，則輕重之際，殊為懸絕。至是，更鑄新式，悉由黍、絫而齊其斤、石，不可得而增損也。又令每用大稱，必懸以絲繩。既置其物，則却立以視，不可得而抑按。復鑄銅式，以御書淳化三體錢二千四百暨新式三十有三、銅牌二十授於太府。又置新式於內府、外府，復頒于四方大都，凡十有一副。先是，守藏吏受天下歲貢金帛，而太府權衡舊式失準，得因之為姦，故諸道主者坐逋負而破產者甚衆。又守藏更代，校計爭訟，動必數載。至是，新制既定，奸弊無所指，中外以為便。

宋初，用周顯德欽天曆，建隆二年五月，以其曆推驗稍疏，乃詔司天少監王處訥等別造曆法。四年四月，新法成，賜號應天曆。太平興國間，有上言應天曆氣候漸差，詔處訥等重加詳定。六年，表上新曆，詔付本監集官詳定。會冬官正吳昭素、徐瑩、董昭吉等各獻新曆，處訥所上曆遂不行。詔以昭素、瑩、昭吉所獻新曆，遣內臣沈元應集本監官屬、學生參校測驗，考其疏密。秋官正史端等言：「昭吉曆差。昭素、瑩二曆以建隆癸亥以來二十四年氣朔驗之，頗為切準。復對驗二曆，唯昭素曆氣朔稍均，可以行用。」又詔衞尉少卿元象宗與元應等，再集明曆術吳昭素、劉內真、苗守信、徐瑩、王熙元、董昭吉、魏序及在監官屬史端等精加詳定。象宗等言：「昭素曆法考驗無差，可以施之永久。」遂賜號為乾元曆。應天、乾元二曆皆御製序焉。

真宗嗣位，命判司天監史序等考驗前法，研覈舊文，取其樞要，編為新曆。至咸平四年三月，曆成來上，賜號儀天曆。凡天道運行，皆有常度，曆象之術，古今所同。蓋變法以從天，隨時而推數，故法有疏密，數有繁簡，雖條例稍殊，而綱目一也。今以三曆參相考校，以應天為本，乾元、儀天附而注之，法同者不復重出，法殊者備列于後。

建隆應天曆

演紀上元木星甲子，距建隆三年壬戌，歲積四百八十二萬五千五百五十八。

步氣朔

元法：一萬二。

歲盈：二十六萬九千三百六十五。

月率：五萬九千七十三。

會日：二十九、小餘五千三百七。

弦策：七、小餘三千八百二十七、秒六。

望策：十四、小餘七千六百五十四、秒一十二。

氣策：十五、小餘二千一百八十五、秒二十四。

朔虛分：四千六百九十五。

沒限：七千八百一十六、秒九。

秒法：二十四。

紀法：六十。

推元積：置所求年，以歲盈展之為元積。求天正所盈之日及分并冬至大小餘：以八十四萬一百六十八去元積，不盡者，半而進位，以元法收為所盈日，不滿為小餘。日滿六十去之，不滿者，命從甲子，算外，即冬至日辰、大小餘也。

求次氣：以天正冬至大、小餘徧加諸常數，盈六十去之，不盈者，命如前，即得諸氣日辰、大小餘秒也。

求天正十一月朔中日：以月率去元積，不盡者，為天正十一月通餘；以通餘減七十三萬六百三十五，餘，半而進位，以元法收為日，不滿為分，即得所求天正十一月朔中日及餘秒。

求次朔望中日：置朔中日，累加弦策餘秒，即得弦、望及次朔中日。

求望中月：置朔中月，加半交，盈交正去之，餘為望中月。

求朔弦望入氣：置朔、望中日，各以盈縮準去，不盡者，為入氣日及分。

推沒日：置有沒之氣小餘，返減元法，餘以八因之，一千九十二、秒一十九半除為沒日，命起氣初，即得沒日辰。其秒不足者，退一分，加二十四秒，然後除之，四分之三以上者進。

推滅日：以冬至大、小餘，徧加朔日中為上位，有分為下位，在四千六百九十五以下者，為有滅之分也。置有滅之分，進位，以一千五百六十五除為滅日，以滅日加上位，命從甲子，算外，即得月內滅日。

求發斂

候策：五、小餘七百二十八、秒二，母二四。

卦策：六、小餘八百七十四、秒六。

土王策：十二、小餘一千七百四十八、秒一十二。

辰數：八百三十三半。

刻法：一百。

求七十二候：各因諸氣大、小餘秒命之，即初候日也；各以候策加之，得次候日；又加之，得末候日。

求六十四卦：各置諸中氣大、小餘秒命之，即公卦用事日；以卦策加之，得次卦用事日；又加之，得終卦用事日。十有二節之初，皆諸侯外卦用事日。

求五行用事：各因四立大、小餘秒命之，即春木、夏火、秋金、冬水首用事日；以土王策加四季之節大、小餘秒，命從甲子，算外，即其月土王用事日。

求二十四氣加時辰刻：各置小餘，以辰數除之為時數，不滿，百收為刻分，命起子正，算外，即所在。

求日躔

天總：七十三萬六百五十八、秒六十四。乾元軌率二十一萬四千七十七、秒七千五百一十、小分七十。儀天乾元數三百六十八萬九千八十八、秒九十九。

天度：三百六十五、小餘二千五百六十三、微八十八。乾元周天三百六十五度、小餘二千五百六十三。儀天乾則三百六十五度、小餘二千五百八十八、秒九十九。應天諸法皆在天總數中。乾元、儀天各立其法。乾元周天策一百七萬三千八百五十三、秒七千五百五十三半，會周一萬七千三百六十四，會餘二十一萬四千七百六十四，天中一百八十二、六千二百八十一半。儀天歲差一百一十八、秒九十九，一象度九十一、餘三千一百四十二、秒五十，盈初縮末限分八十九萬七千六百九十九、秒五十，限日八十八、餘八千八百九十九、秒五十，縮初盈末限分九十四萬六千七百八十五、秒十五，限日九十三、餘七千四百八十五、秒五十，盈縮積二萬四千五百四十三，進退率一千八百三十六，秒母一百。

乾元二十四氣日躔陰陽度

應天

應天、乾元二曆，以常氣求其陰陽差，故有二十四氣立成。儀天以盈縮定分、四限直求二十四氣陰陽差，乃更不制二十四氣差法。

求日躔損益盈縮度：乾元謂之求每日陰陽差。儀天謂之求入盈縮分先後定數。各置定日及分，以冬至常數相減，百收，通為分，自雨水後十六為法，自霜降後十五為法。除分為氣中率，二相減，為合差；半之，加減率為初、末率。後多者，減為初、加為末；後少者，加為初、減為末。又法，以除合差，為日差；後少者，日損初率；後多者，日益初率。為每日日躔損益率；累積其數，為盈縮度分。乾元各置氣數，以一百二十乘之，以一千八百二十六除之，所得為平行率；相減，為合差；初、末並如應天。儀天以宗法乘盈縮積，以其限分除之，為限率分；倍之，為末限平率；日分乘之，亦以限分除之，為日差；半之，加減初、末限平率，在初者減初加末，在末者減末加初，為末定率；乃以日差累加減限初定率，初限以減、末限以加，為每日盈縮定分；各隨其限盈加縮減其下先後數，為每日先後定數；冬至後積盈為先，在縮減之；夏至後，積縮為後，在盈減之。其進退率、昇平積準此求之，即各得其限每日進退率、昇平積也。

求日躔先後定數：乾元謂之求入氣、求弦望氣入、求日躔陰陽差。各以朔、弦、望入氣日及減本氣定日及分秒通之，下以損益率展，以元法為分益加次氣下先後積為定數。乾元以其月氣節減經朔大、小餘，即得入氣日及分；又以弦策累加天正朔日入氣大、小餘，滿氣策去之，即得弦、望經朔入氣日及分；以其日損益率乘入氣日餘分，所得，用損益其日陰陽差為定數。儀天法見上。又儀天有求四正節定日，去冬、夏二至盈縮之中，先後皆空，以常為定；其春、秋二分盈縮之極，以一百乘盈縮積，滿宗法為日，先減後加，去命如前，各得定日。若求朔、弦、望盈縮限日，以天正閏日及餘減縮末限日及分，餘為天正十一月經朔加時入限日及餘；以弦策累加之，即得弦、望及後朔初、末限日；各置入限日及餘，以其日進退率乘之，如宗法而一，所得，以進退其日下昇平積，即各為定數。

赤道宿度

斗：二十六。牛：八。女：十二。虛：十。及分。

危：十七。室：十六。壁：九。二曆同。

北方七宿九十八度。虛分二千五百六十三、秒一十九。乾元七千五百三十五、秒二十五。儀天二千五百八十八、秒九十九。

奎：十六。婁：十二。胃：十四。昴：十一。

畢：十七。觜：一。參：十。

西方七宿八十一度。二曆同。

井：三十三。鬼：三。柳：十五。星：七。

張：十八。翌：十八。軫：十七。

南方七宿一百一十一度。二曆同。

角：十二。亢：九。氐：十五。房：五。

心：五。尾：十八。箕：十一。

東方七宿七十五度。二曆同。

又，儀天云：「前皆赤道度，自古以來，累依天儀測定，用為常準。赤道者，天中紘帶，儀極攸憑，以格黃道也。」

求赤道變黃道度：乾元謂之求黃道度。儀天謂之推黃道度。準二至赤道日躔宿次，前後五度為限，初限十二，每限減半，終九限減盡。距二立之宿，減一度少強，又從盡起限，每限增半，九限終於十二。距二分之宿，皆乘限度，身外除一，餘滿百為度分，命曰黃赤道差。二至前後各九限，以差為減；二分前後各九限，以差為加。各加減赤道度為黃道度，有餘分就近收為太、半、少之數。乾元初率九，每限減一，末率一。儀天初數一百七，每限減一十，末率二十七，其餘限數加減並同應天。

黃道宿度

斗：二十三度半。牛：七度半。二曆同。女：十一度太。二曆並十一度半。

虛：十度少強。二千五百六十三、秒十九。乾元無分。儀天六十三分、九十九秒。

危：十七度少。乾元同。儀天十七度太。室：十六度太。壁：十度。乾元九度太。儀天同。

北方七宿九十七度二千五百六十三、秒十九。乾元九十六度半。儀天九十七度半、六十三、秒九十九。

奎：十七度半。二曆同。婁：一十二度太。乾元十三度。儀天同。胃：十四度少。二曆並十四度太。

昴：十一度。二曆同。畢：十六度半。乾元同。儀天十六度少。觜：一度。

參：九度少。二曆並同。

西方七宿八十二度少。乾元八十三度。儀天八十二度半。

井：三十度。鬼：二度太。二曆並同。柳：十四度半。乾元、儀天十四度少。

星：七度。乾元、儀天並六度太。張：十八度少。乾元同。儀天十八度太。翌：十九度少。乾元十九度。儀天同。

軫：十八度太。二曆同。

南方七宿一百一十度半。乾元一百九度太。儀天同。

角：十三度。亢：九度半。二曆並同。氐：十二度少。乾元、儀天並十五度半。

房：五度。二曆同。心：五度。乾元同。儀天四度太。尾：十七度少。乾元同。儀天十七度。

箕：十度。乾元十度太。儀天十度。

東方七宿七十五度少。乾元七十六度。儀天七十四度太。

求赤道日度：儀天謂之推日度。以天總除元積，為總數；不盡，半而進位，又以一百收總數從之，以元法收為度，不滿為分秒，命起赤道虛宿四度分。乾元以軌率去歲積分，餘以五因之，滿軌率收為度，不滿，退除為分，餘同。儀天以乾數去歲積分，宗法收為度，命起盧宿二度，餘同應天。又以一象度及餘秒累加之，滿赤道宿度即去之，各得四正，即初日加時赤道日度也。

求黃道日度：置冬至赤道日躔宿度，以所入限數乘之，所得，身外除一，滿百為度，不滿為分，用減赤道日度，為冬至加時黃道日度及分。乾元、儀天亦如其法。乾元即以八十四，儀天以一百一除為度，餘同應天。

求朔望常日月：乾元謂之求黃道平朔日度。置朔、望日躔先後定數，進一位，倍之，身外除之，以元法收為度分，先加後減朔望中日、月，為朔望中常日、月度分；用加冬至黃道之宿，命如前，即得朔望常日、月所在。乾元置會周一萬七千三百六十，以距十一月後來月數乘之，所得，減去朔餘，加會餘而半之，以二百九十四收為度，不盡，退除為分。儀天法在後。乾元又有求黃道加時朔日度，置平朔日，以日躔陽加陰減之，又以冬至黃道日度加而命之，即其朔加時黃道日度及分也。若求望日度者，以半朔策加之，即得望日度及分也。用陽度，即依本術。

每日加時黃道日度：乾元謂之每日行分。以定朔、望日所在相減，餘以距後日數除之，為平行分；二行分相減，為合差；半之，加減平行分，為初行分；後平行多，減為初；後平行少，加為初。以距後日數除合差，為日差；後少者損，後多者益，為每日行分；累加朔、望日，即得所求。乾元同。儀天不立此法。又儀天有求次正定日加時黃道日度，置歲差，以限數乘之，退一位，滿一百一為差秒及小分，再析之，乃以加一象度，所得，累加冬至黃道日，滿黃道宿次去之，各得四正，即加時黃道日度也。若求四正定日夜半黃道日度，置其定日小餘副之，以其日盈縮分乘之，滿宗法而一，盈加縮減其副，乃以減其日加時，即為夜半黃道日度。又有求每日夜半日度，因四正初日夜半度，累加一策，以其日盈縮分盈加縮減，滿黃道宿次去之，即得每日夜半日度。又有求定朔、弦、望加時日度，置定朔、望小餘副之，以其日盈縮分乘之，以宗法收之為分，盈加縮減其副，以加其日夜半度，各得其時加日躔所次。如朔、望有進退者，此術不用。